Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

1. Tính đơn điệu của hàm số

1.1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu  là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số  xác định trên .

 đồng biến trên    

nghịch biến trên  

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  được gọi chung là hàm số đơn điệu trên  

*Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình a), nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình b).

1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Cho hàm số   có đạo hàm trên .

• Nếu  thì  đồng biến trên .

• Nếu  thì  nghịch biến trên  .

• Nếu   thì  không đổi trên .

* Chú ý: Giả sử hàm số  có đạo hàm trên . Nếu  ( ) và  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên .

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:  

a)         

b)  trên khoảng  

c)

d)

Hướng dẫn giải:

a)  

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên  và nghịch biến trên khoảng .

b) Trên khoảng  ta có

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên khoảng  

c)

Vậy hàm số đồng biến trên  .

d)

Vậy hàm số đồng biến trên .

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Quy tắc

1. Tìm tập xác định. Tính .

2. Tìm các điểm tại đó  hoặc  không xác định.

3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:  

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên  và , nghịch biến trên khoảng .

3. Bài tập luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số của trường THPT Ninh Giang

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số :

a)  

b)  

c)  

d)  

Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của tham số  sao cho hàm số   đồng biến trên .

Bài 3. Cho hàm số  với  là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của   để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của  .

Bài 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số  để hàm số  đồng biến trên khoảng   ?

Bài 5.  Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số   để hàm số  nghịch biến trên khoảng  

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên - Trường THPT Ninh Giang